Álgebra Lineal.

Álgebra Lineal.

¡Es hermosa! :D.

El álgebra lineal, como el té, se puede preparar de varias maneras diferentes y con diferentes intensidades. Nos dicen que tanto los estudiantes de la Facultad de Contaduría y Administración como los de Ingeniería y por supuesto nosotros en Ciencias tomamos álgebra lineal. Sin embargo, quienes la toman en la FCA opinan que Ingeniería aprende AL de maneras muy abstractas, al ver matrices y sus manipulaciones. (Parece que en la FCA el enfoque en el álgebra lineal es resolver sistemas de ecuaciones lineales, no sé si les enseñen algo de vectores al final). De cualquier forma, aunque el álgebra lineal se puede legítiamente reducir a un montón de manipulaciones de matrices, este punto de vista me parece que no provee un entendimiento profundo de qué es lo que está ocurriendo de fondo y cómo y cuándo es conveniente utilizar una herramienta específica. Esta confusión respecto al álgebra lineal puede ser parcialmente causada por el flujo de su desarrollo histórico. Generalmente, mostrar el desarrollo histórico de un área de las matemáticas y motivar su estudio mediante los problemas clásicos que impulsaron su existencia resulta útil para promover un entendimiento más efectivo del área. Sin embargo, me parece que este no es el caso con el álgebra lineal: históricamente se desarrolló para resolver sistemas de ecuaciones lineales, y buscar las propiedades del conjunto de soluciones (las cuales resultan ser un espacio vectorial). El tema del determinante y las manipulaciones de matrices tuvieron una enorme importancia durante muchísimo tiempo en el desarrollo de esta materia y su enseñanza. Curiosamente, el empuje al rigor y la abstracción ayudó a clarificar muchísimo varios de los puntos claves de esta materia (lo cual no ocurre generalmente con otras materias, ver mi post sobre “Fenómenos Colectivos o COF” para leer algo al respecto).

De manera personal, me parece que el método moralmente correcto para enseñarla: es comenzar con espacios vectoriales abstractos y aterrizar luego en manipulaciones de matrices como un ejemplo de un caso particular de un teorema general abstracto.

¡El álgebra lineal es genial! Yo creo que todo el mundo debiera tomar álgebra lineal II, y que es la materia más importante que llevo en cuarto semestre: todas mis otras materias (cálculo, ecuaciones diferenciales, electromagnetismo) están usando fuertemente resultados de Lineal II, al punto en el que tal vez ecuaciones diferenciales debiese ser llamada “lineal aplicada a diferenciales”. Es increíblemente útil tomar Lineal II, ya que Lineal I es apenas lo necesario y suficiente para justificar lo que hiciste en el laboratorio de mecánica (como linearizar y ajustar mínimos cuadrados), pero II sirve para ver espacios con producto interior de adeveras, espacios invariantes, y una introducción a la teoría espectral o de descomposición espectral de operadores lineales. Teniendo un buen curso de lineal II también se ven tensores, los cuales son la maquinaria que subyace a las formas diferenciales y con la cual se construye la teoría de integración sobre variedades. Los Teoremas de Cambio de Variable y el Gran Teorema Fundamental del Cálculo se aprecian mucho mejor desde esta perspectiva, además de ser increíblemente útiles para calcular cosas prácticas.

Tomando sólo álgebra lineal I, te puedes quedar con la idea de que los operadores lineales son como un búfalo de agua: una criatura inconmensurablemente poderosa, pero fundamentalmente mansa y dócil. Aunque es parcialmente verdadero, no es la imágen completa: las transformaciones lineales si son increíblemente poderosas, y son en general dóciles y buena onda. Sin embargo, tienen también sus intereses y aspiraciones, y con el mismo poder que nos ayudan, perseguirán también sus propios objetivos. Para conocer más de cerca a estos bichos y entender qué las motiva y cuáles son sus intereses, es apenas suficiente tomar lineal II.

Creo que uno de mis aspectos favoritos del álgebra lineal es la estructura de semántica causal de sus demostraciones: pobremente dicho, diría que las cosas se suceden de manera muy lineal. Haciendo un intento, puedo decir que las implicaciones en las demostraciones en esta materia tienden a tener una semántica rica; una intuición y geometría profundas: son implicaciones de causación semántica (al menos en el grado de la intuición: algunas relaciones causan o determinan otras. Ejemplo: el espacio propio asociado a un valor propio es un subespacio del subespacio invariante asociado a ese valor propio. Tomado directamente, suena a álgebra seca. Sin embargo, pensando en el espacio propio como una fechita o una dirección general en la cual los vectores son sólo contraídos o enlongados (escalados) al aplicarles la transformación (en lugar de cambiar su dirección, sólo cambia su magnitud), si tomas los vectores que están “cerca” de este espacio (el espacio T-invariante), estos vectores que lo rodean contienen toda la dirección original).

Para muchos estudiantes en la facultad, Lineal I es su primer acercamiento a las matemáticas abstractas y fuera de un contexto particular conocido, como los espacios R^2 y R^3. Es por este empuje hacia la abstracción que muchos profesores consideran Lineal I como prerrequisito indispensable (y a veces suficiente!) para tomar cursos de matemáticas más avanzados y abstractos (como lógica matemática, conjuntos, u otros cursos “de adeveras”). Por otro lado, sus resultados, métodos, y técnicas son utilísimos para muchas materias posteriores (como geometría y topología diferenciales), por lo que su contenido es fundamental para seguir avanzando sobre este camino.

Más allá de todo lo anterior, el álgebra lineal también tiene aplicaciones prácticas sorprendentes e impresionantes, como realizar análisis discursivo para determinar muchas características de las personas a quienes analiza (como su probabilidad de padecer enfermedades mentales o convertirse en terroristas en el futuro). Creo personalmente que esto es una cosa que le falta fuertemente a la enseñaza del álgebra lineal (y de las matemáticas en general) en nuestra Facultad: la aplicación práctica en la vida real. Aunque quienes estudian actuaría eventualmente se hacen cargo de esto, la mayor parte de los profesores de matemáticas y de Física no hacen más que el menor esfuerzo posible (y envían a sus ayudantes a aplicar el álgebra lineal en la resolución de ecuaciones diferenciales! ¡Wohoo! ¡Es un área diferente de las matemáticas! Pero mira qué aplicado…). Tener prácticas y laboratorios de computación para resolver problemas concretos podría ser un modo efectivo de comenzar a cerrar esta brecha, usando esta materia para hacer más eficientes las rutas de los aviones en el cielo (mínimos cuadrados), o planificando las áreas de casas para que la gente viva mejor (cadenas de Markov). Por último, quiero cerrar este párrafo con unas palabras de advertencia: es importante y necesario no dejarse llevar por la enorme aplicabilidad de esta área de las matemáticas para representar información: ¡Las personas no son números ni vectores! Aunque leí hace poco que la técnica conocida como LSA y algunos de sus amigos pueden predecir por ejemplo si una persona tiende a padecer una enfermedad mental (resulta que quienes probablemente las padezcan tienden a saltar de manera arbitraria entre dominios semánticos por asociación libre), las técnicas matemáticas no pueden capturar su propia realidad (Incompletud de Gödel), menos la realidad Física material (Incertidumbre de Heisemberg), y mucho menos la realidad de una persona, individuos con una complejitud inconmensurable con las matemáticas modernas más refinadas. De este modo, aunque las matemáticas puedan ser útiles para proveer información y prevenir posibilidades potenciales, se debe de mantener la toma de decisiones importantes (como darle una visa (papelito en el pasaporte, no tarjeta de crédito) a alguien) fuera de las garras de la automatización computacional apoyada sobre las mejores técnicas matemáticas. Una persona siempre debe (o debiera) tomar estas determinaciones.

Review de libros:

• Lang Introduction. La leyenda es que lo escribió en un fin de semana. Nuestro profesor nos comentó que no está al nivel de enseñanza de álgebra lineal en nuestra facultad, lo cual es mayoritariamente cierto. Es bueno para tomarlo entre primer y segundo semestre y hojearlo en vacaciones, una buena introducción al álgebra lineal al alcance de geometría analítica.
• Lang serio. Es bueno. Su enfoque parte de la óptica moderna del álgebra lineal, lo cual es adecuado, pero me parece que la secuenciación de sus temas puede dejar un poco que desear. El programa oficial de álgebra lineal de la facultad lo sigue muy de cerca, pero la mayoría de los profesores siguen más bien el Friedberg.
• Friedberg. Es la biblia del álgebra lineal para muchos de los profesores de la Facultad, por lo que nunca hay disponibles en la biblioteca. Si quieren encontrar uno, tal vez puedan buscar en la sección de historia y filosofía de las ciencias, o en biología ya que la gente los esconde allí. Este libro brilla primordialmente por su estructura de organización excelente, con los temas en la secuenciación adecuada. Sin embargo, su contenido es bueno, pero no excelente en todos puntos (la sección de determinantes de dejó algo que desear… hay que complementarla con otro texto). Es difícil aprender de él cuando lo lees tu solo, mucho mejor complementarlo con un buen curso que lo lleve como libro de cabecera: le puedes preguntar al profesor tus dudas en clase, y comentar lo que sea que no esté claramente explicado.
• Axler. Linear Algebra done Right. Este libro es un manifesto del punto que explicité arriba, al decantarse por el modo moderno de entender el álgebra lineal desde una perspectiva de abstracción y generalidad en lugar de aplicaciones y manipulaciones con matrices. Específicamente, lo logra a través de evitar a toda costa el uso de determinantes. Enfoque interesante, pero me cae gordo el autor.
• Brown. Linear Algebra Done Wrong. Me gustó más que el Axler. Tiene el enfoque correcto y adecuado para enseñar este curso. Es en efecto una respuesta directa al Axler, y es un diálogo curioso dentro del punto de vista moderno del álgebra lineal. Se podría decir que Brown es un moderado con respecto al empuje por generalidad y abstracción, quien piensa que la talacha concreta y los determinantes todavía tienen su lugar y son útiles para ciertos propósitos. Mientras tanto, Axler debe ser un radical que busca generalidad y abstracción por ellas mismas.
• Strang?? (?). La verdad nunca lo leí.
• The manga guide to linear algebra. Es divertido como entretenimiento. No se puede esperar aprender mucho de él, y su enfoque es el criticado arriba por reducir el álgebra lineal a manipulaciones de matrices.
• 3blue1brown: The essence of Linear Algebra. Serie excelente de excelentes videos en youtube que versan sobre la intuición geométrica fundamental y profunda del álgebra lineal. Proveen una forma de visualizar la geometría detrás del álgebra que forma una fuerte intuición útil para después (tener estructuras para) buscar soluciones a problemas (o motivos semánticos de interacciones causales en la semántica para construir demostraciones).

“Fenómenos Colectivos”, o “COF”.

“Fenómenos Colectivos”, o “COF”.

¿Qué es esa materia extraña que se lleva en el tercer semestre de la licenciatura en Física, y tiene por nombre esa extraña formulación de: “Fenómenos Colectivos? ¿Por qué algunas personas la conocen como “COF”?

A diferencia de los nombres de las demás materias de Física de los primeros semestres como “Mecánica Vectorial”, o “Electromagnetismo”, el nombre “Fenómenos Colectivos” no deja precisamente muy claro qué se va a estudiar en esta materia. Tal vez desde una perspectiva histórica quede más claro: en el plan de estudios anterior esta materia se llamaba: “COF”, o “Calor, Ondas, y Fluidos”. Eventualmente le cambiaron el nombre, supongo que con los objetivos de actualizar el enfoque a un entendimiento más moderno del ámbito de estudio e incluir algunos nuevos temas que no cabían en COF. En la praxis material, muchos profesores siguieron dando exactamente el mismo curso que daban antes, aunque en su defensa el nombre de COF probablemente ya les quedaba chiquito desde antes de que se lo cambiaran.

A todo esto, Fenómenos Colectivos es fundamentalmente un curso sobre la fenomenología del medio contínuo; tal vez la Física Clásica en su máxima expresión como fué construida por los científicos que considerasen que la materia y el universo estaban constituidos por sustancias etéreas y de naturaleza contínua que interactuaban de maneras deterministas (siglos XVII a XIX, siguiendo el enorme éxito del cálculo y siendo contemporáneos del despegue del análisis –lo cual es una exposición históricamente honesta del desarrollo de la física, y a mi parecer una buena decisión (aunque tal vez un poco poco ortodoxa) para la estructura de los planes de estudio de la FC). De esta forma, se estudian temas como termodinámica clásica con sus tres leyes (Cero, Uno, y Dos; motores y dispositivos incluidos), una introducción a teoría de fluidos (Pascal, flujo laminar, las ecuaciones de continuidad (conservación de masa), de Euler (conservación de momento), y el principio de Bernoulli (conservación de energía); algunos profesores chorearán a sus estudiantes con algo de las ecuaciones de Navier-Stokes, pero es realmente difícil entenderlas en este punto de nuestra formación), y ondas (viajeras, estacionarias, en una cuerda, en un medio, longitudinales, transversales, pulsadas, como perturbaciones que transmiten energía y momento). También se estudiarán temas como los principios de los medios deformables (con sus coordenadas adimensionales como Reynolds), los estados de agregación de la materia (un líquido es un pedazo de material que se deforma de manera continua bajo esfuerzos de corte), y tal vez cómo provocarle un aneurisma a un matemático (construcción “a lo ingeniero” de la derivada material, en la cual se factorizan diferenciales cual si estuvieran multiplicando, o el uso de diferenciales y límites “finitos”).

Son estos últimos temas el tipo de cosas que hacen que limitar el enfoque de la materia al calor, las ondas, y los fluidos sea un tanto demasiado limitativo. Tal vez un mejor nombre para ella fuera algo así como: “Introducción al Estudio del Medio Contínuo”; título que engloba todos los temas relevantes y que será tratado nuevamente en repetidas ocasiones en cursos posteriores (como termodinámica y dinámica de medios deformables, más aún en las optativas de acústica y fluidos). Sin embargo, es necesario reconocer que pronunciar tal título es declamar una mentira; bien es sabido que el universo de existencia material no es un continuo suave: ni siquiera es infinitamente divisible y mucho menos completo, sinó que está formado por pequeños corpúsculos de energías discretas (cuantizadas) que dan la apariencia de continuo sólamente por la poquísima resolución de nuestros instrumentos de medición. Tal vez por esto se decidió nombrar a la materia como: “Fenómenos Colectivos”, aunque no se estudien los actores fundamentales (cuánticos) de tal colectivización.

Creo que es necesario en este punto hacer una observación histórica que asevera que este punto de vista: el considerar el universo material como fundamentalmente un contínuo y tratarlo como tal, es el punto de vista más erróneo que ha tenido mejores resultados hasta ahora en la historia de la Física. ¡Toda la Física Clásica está basada en este supuesto, patentemente falso! No por ello las locomotoras dejan de llegar a las cinco en punto de la tarde, justo a tiempo para tomar el té. Esto nos indica que tener buenas ideas (ideas “verdaderas”, lo que sea que eso sea) no es necesario para hacer buena Física útil y efectiva para describir el mundo material en un rango o un intervalo adecuado, mucho menos para llevarla a aplicaciones prácticas concretas y útiles que pueden revolucionar el mundo de las personas (como la locomotora a vapor catalizando la revolución industrial y permitiendo las revoluciones políticas de los años 1700’s en el continente Europeo). Más aún, algunas de las leyes que surgieron de este campo de estudio son tal vez las leyes más fundamentales que conocemos (la primera y la segunda leyes de la Termodinámica), y surgieron de considerar un punto de vista patentemente erróneo y que se sabe que está mal. Tal vez sea por esta aparentemente ilimitada efectividad que excelente gente de ciencia se opuso fervientemente al punto de vista corpuscular (atómico) de la materia en su inicio, y por lo cual la teoría cuántica fuera un parteaguas tan grande en el pensamiento científico!!

Hummm… qué rico es escribir mal. Tengo que reconocer (tal vez también disculparme con quién esté leyendo por) que estoy escribiendo preponderantemente para mi mismo y para mi solo. Esto termina por tener el efecto de escribir a veces terriblemente mal, puesto que el flujo de la libre asociación de ideas no necesariamente es claro en absoluto para persona alguna que no lo experimente de primera mano dentro de su cabeza; los flujos de libre asociación son radicalmente distintos en distintas personas, y tienden también a ser reiterativos en algunos conceptos dejando otros puntos cruciales sin mencionar de manera explícita. Me recuerda mi curso de fenómenos colectivos, el cual se movía primordialmente a través de la libre asociación de ideas, y en segundo lugar a través de la construcción experimental hipotetizada. Así, construimos una presa, y la convertimos en un barco al vaciar concreto sobre de ella y desanclarla del piso. Fué una experiencia estéticamente deliciosa, e intelectualmente profunda y honestamente retadora. A pesar de disfrutar profundamente el flujo de las ideas, seguirle el ritmo fué un tanto difícil puesto que se movía espontáneamente en direcciones inesperadas que auguraban hermosas sorpresas en cada clase y nueva frase. Algunos dirían que no sería posible permitirse distraerse en un curso de este estilo, pero argüiblemente sólo se podía tener éxito al tomarlo estando permantente y perenemente en estado de profunda distracción: sólamente a través de una enorme apertura a nuevas proposiciones y sin una estructura de expectativas de secuencia lógica los temas eran apenas entendibles, y la capacidad de pasar espontáneamente de un tema a otro sólo rescatando los elementos más fundamentales era imprescindible para tener éxito.

En algún punto del curso nuestro profesor nos comentó que él preferiría que éste curso fuese llevado en quinto semestre para poder sacarle todo el provecho al cálculo y al análisis en el desarrollo de la mecánica del medio contínuo, teniendo mecánica vectorial en primer semestre, electromagnetismo en segundo, y óptica en tercero (o recorrer todo lo mencionado un semestre). Aunque es una proposición razonable para conocer el contínuo matemático antes de encontrar el contínuo físico, parece que su posición en tercer semestre es razonable considerando que después de quinto se exploran las profundidades del contínuo físico y se agradece tener un tiempo de pausa para ponderar, descansar, y de manera general digerir las ideas planteadas antes de usarlas de maneras más avanzadas. De cualquier forma, es importante reconocer que esta estructura sí resulta limitativa al alcance que este curso puede tener: la mayor parte del curso se hace siguiendo el hilo de los diferenciales de cálculo III (los cuales se entienden como infinitesimales menores que la incertidumbre más pequeña (generalmente la instrumental), y se generalizan como formas diferenciales), y sólo unos pocos cursos (los más atascados) mencionan al final algo sobre el rotacional y el Laplaciano. De esta forma, casi todos los resultados obtenidos son expuestos en una forma diferencial, y hay muchos resultados que nisiquiera pueden ser enunciados con este grado de matemáticas. Tomándola en quinto, sería posible enunciar todos los resultados fuertes de este curso tanto en forma diferencial como de forma integral, lo cual le dotaría de una enormemente mayor aplicabilidad a todo lo visto. Es posible hacer individualmente este esfuerzo, y pasar los resultados de una forma a otra, pero toma bastante tiempo y esfuerzo que se puede ocupar en alguna otra cosa (y que la mayoría de los estudiantes (siguiendo el principio de minimización de la acción) no estamos dispuestos a hacer –yo tampoco lo he hecho, he escrito este blog!!).

En conclusión, Fenómenos Colectivos es una materia con una gran cantidad de historia tanto global como institucional (y que le es fiel a sus orígenes en ambos ámbitos), que trata primordialmente sobre el medio continuo. Puede ser una materia difícil y retadora, pero idealmente también será profundamente divertida y disfrutable. También consiste en la base de muchas materias posteriores, enormes áreas de investigación física que fuertemente requieren atención (como la dinámica de fluidos –no está totalmente resuelta), y grandes áreas de problemas de aplicación y oportunidades laborales (...mucha ingeniería…).

Libros:

• Zemansky, Termodinámica. Excelente libro de cabecera para el curso.
• Carmona, Termodinámica Clásica. Más avanzado que el curso estándar de Fenómenos Colectivos. Escrito por una eminencia de la facultad, buen libro de referencia también para el curso de sexto semestre del mismo nombre. Llega incluso un poco más allá en el tratamiento de la materia que el Zemansky arriba mencionado, conteniendo capítulos sobre, por ejemplo, el formalismo de Gibbs y otros temas relacionados.
• Sears - Zemansky. Usual presentación de Sears - Zemansky: aplicado un poco ingenieríl. Es buena onda, pero no precisamente mi estilo.
• Negrete, Termodinámica (prensas de Ciencias). Bien; autocontenido en cuanto a que contiene las explicaciones de, por ejemplo, las estructuras lógicas de demostración que emplea (lo cual puede ser útil para aquellos lectores que no tengan gran experiencia con hacer matemáticas a través de demostraciones), y tiene entremezclado un interesante discurso social que vale la pena leer individualmente. Realmente es necesario complementarlo con otros recursos, en particular en sus secciones respecto a la segunda ley y la entropía. Puede ser una buena primera introducción a muchos temas.
• El Ressnick. Pues, es el Ressnick (la teoría es mala y los problemas son buenos). Quién le entienda, es bienvenido a leerlo.
• Burbano de Ercilla, Física General. Libro de Preparatoria excepcionalmente bueno, particularmente para las áreas de medios deformables e hidroestática, fenómenos de superficie, y fluidos.
• Pérez, Cruz. “La Termodinámica de Galileo a Gibbs”. Excelente para entender la historia detrás de la materia. Muy bueno como referencia cuando algo no tenga sentido, ya que conocer la historia del desarrollo de un concepto puede dar contexto que permite entender su forma moderna (de otra manera, toparse con la generalidad y abstracción modernas es bastante difícil; cómo jamás se le podría ocurrir una genialidad tan mayúscula a alguien?!? Pues, generalmente resulta que no se le ocurrió a una sola persona, y tomó muchísimo esfuerzo!! Al menos nos recuerda que los científicos todos somos personas humanas, y que entender un concepto por primera vez puede ser difícil en proporción a lo difícil que fue descubrirlo originalmente, y eso está bien!).
• Faber, “Fluid Dynamics for Physicists”. Hace honor a su nombre, excelente para la sección de dinámica de fluidos. Creo que este es el número un mejor libro para esta sección; va mucho más allá que el libro de Burbano, y no cae en las trampas de los libros de este tema para ingenieros y matemáticos (leer su introducción para entendre esta última frase).
• Elmore, Heald. “Physics of Waves”. Excelente para la sección de ondas. Tiene problemas difíciles.

Def. Teo. Dem.

Def. Teo. Dem. La mayor parte de las matemáticas que se hacen en la facultad siguen está estructura de esquema: vas a clases, en donde los profesores definen los objetos sobre los que van a hablar, se enuncian teoremas (quién sabe de dónde salieron), y se demuestran con métodos de deducción de la lógica. Sin embargo, esto no resuelve fundamentalmente la cuestión de qué son las matemáticas.

Si Hilbert hubiera ganado: "Matemáticas" = Estudio e investigación de sistemas formales consistentes. Como Godel le dijo que no, definir qué son las matemáticas es mucho más difícil que lo anterior. Algunos como Courant dicen que no es posible definirlas, y tampoco conocerlas si no es haciéndolas.

Personalmente, creo que el problema es más sencillo: las matemáticas son discurso.

En los primeros años (como casi toda la licenciatura), se te provee de definiciones y se te enuncia un teorema. Se te pide una demostración.

Quizá en la tesis de licenciatura se te provee de definiciones y un campo de estudio, y se te pide construir un nuevo teorema y su correspondiente demostración. La mayor parte de la investigación en matemáticas se hace así.

Quizá, si eres de los mejores en tu campo o escribes un libro al respecto de tu área de interés algún día, se te permita crear nuevas definiciones para continuar construyendo el mundo de las matemáticas. Cualquiera puede definir lo que se le antoje y se le ocurra, pero los de más matemáticos no necesitan por ello adoptar estás definiciones. Así, definir una cosa nueva o hacerle alguna modificación a una definición y que está nueva versión sea adoptada para uso general constituye una prueba casi infalible de ser bueno en el campo electo.

También hay matemáticas que resuelven problemas prácticos, las cuales definen los métodos que les sean necesarios para solucionar los problemas planteados. Esto es efectivo para crear nuevas definiciones y áreas de las matemáticas.

Hacer matemáticas conlleva una superestructura filosófica gigantesca que lo sustenta, la cual parece ser rara vez volteada a ver en el quehacer matemático cotidiano. De cualquier manera, me pregunto cómo alguien puede permitirse hacer matemáticas sin tener todo esto claro de antemano. No parece ser intelectualmente honesto continuar trabajando sin tener claros los cimientos de los primeros principios de los cuales se parte si se aspira a tener los mayores grados de abstracción, generalidad, y consistencia posibles. Quizá es necesario primero graduarse de filosofía antes de hacer matemáticas, del mismo modo en que es necesario graduarse de matemáticas antes de hacer Física.

Lista inoficial de útiles (e inútiles) para la Facultad de Ciencias de la UNAM

Lista inoficial de útiles (e inútiles)

para la Facultad de Ciencias de la UNAM

Cada año, cuando entran todos los de nuevo ingreso, se suceden una serie de chistes y bromas estándar a sus expensas. Una de ellas es llegar a una de las primeras clases (como geometría analítica, o álgebra superior) y dar una lista de materiales que tendrán que conseguir para continuar con el curso. Por otro lado, hay algunas cosas que llevar a la facultad puede resultar muy útil. Tanto para prevenir que los agarren de bajada al pedirles una máquina de Turing o una botella de Klein como para que no necesitemos reinventar la rueda y redescubrir qué es conveniente tener a la mano, escribo esta breve lista de útiles e inútiles para la Facultad de Ciencias:

Inútiles: (las cosas que les pueden pedir de broma en alguna de sus clases, pero que no necesitarán o no existen en el mundo material).

• Botella de Klein: Es un objeto topológico que es equivalente a la banda de Möbius (un asunto bidimensional) en tres dimensiones; es una botella con un solo lado. Es posible que exista en material, pero tiene que tener un cruce sobre si misma. También, no vas a necesitar tener un objeto material de estos para ningún curso de la Fac, más que por puro interés personal.
• Máquina de Turing: Típico para los computólogos, es un modelo abstracto e idealizado de las computadoras. Abstrae y analiza los procesos computacionales, y es útil para explorar los límites de la computación (abordando preguntas del tipo: ¿Qué puede ser computado, y qué no?). Supongo que si existiera sería una computadora muy lenta hecha de una cajita y cinta infinita para los dos lados.
• Una Métrica Universal: Para quienes estudiamos Física, esta cosa es una abstracción matemática que sirve para medir el universo en relatividad. Si existiera como objeto material, supongo que sería como una cinta métrica, pero tendría que ser infinita. También necesitaría tener un reloj pegado, el cual tiene un signo negativo enfrente.
• Base ortonormal para Rn: Este es el típico que sirve para todos. Generalmente, este requerimiento está seguido por la sugerencia de usar unos palitos para R^2 y R^3, y mota para R^n. En realidad, es un conjunto de vectores que tienen longitud 1, que cualquier vector se puede escribir como combinación lineal de estos vectores, y que el producto punto entre cualesquiera dos de ellos diferentes entre sí es igual a cero.
• Conjunto de vectores linealmente independientes: Relacionado con la anterior, creo que sería una caja con flechitas que apuntan en diferentes direcciones.
• Un bote de vaselina. Mis amigos son unos guarros.

Útiles: Cosas que puede ser conveniente llevar a la Fac o tener a la mano.

• Un termo de metal. Sirve para café (que te cobren más barato los Zapatistas), y tomar agua gratis en Pumagua o en Jugo de Nube de camino desde la Fac. hacia el metro. Propongo que sea de metal para que resista los embates cotidianos de la Facultad: que se pueda caer de las escaleras o la mesa y sobrevivir al metro.
• Papel de baño / pañuelos / servilletas. Sirven para borrar los pizarrones y usar los baños. Muy rara vez hay disponible en los baños. También para secarse las lágrimas después de los exámenes, supongo!!
• Paracetamol y aspirina. Es útil en caso de que alguien se sienta mal, o tenga un accidente. Pocas veces es necesario, pero es bueno tener un kit de primeros auxilios (tal vez incluir curitas y vendas) cuando se necesita.
• Jabón de manos en un bote pequeño. Muy rara vez hay en los baños.
• Una memoria USB. Sirve para que te pasen archivos de clase de manera espontánea, o imprimir en las copias de al lado del Einstein entre los edificios O y P.
• Pila recargable o cargador de celular: Siempre hay alguien a quién salvarle la vida con ello, y poder marcarle a esa persona especial incluso al final del día cuando tu celular está cansado es bonito para todos.
• Una tabla con clip. Personalmente, me encanta siempre tener la misma superficie para escribir (así conozco mi superficie, y cómo se va a portar cuando escriba sobre ella). Más aún, en caso de que llegues tarde a una clase muy demandada (con más estudiantes que asientos), puede asegurarte que podrás tomar notas de la clase de todos modos aunque no tengas silla o tengas una silla sin paleta.
• Pluma de cartuchos. Tomando clases en la Fac, es posible utilizar muchísima tinta. Para reducir desperdicio, se puede usar una pluma recargable en lugar de bolígrafos de punta de bola. También se ve mucho mejor. ;).
• Un lapiz o lapicero, y goma. Útil para hacer talacha y luego borrarla cuando descubres en dónde y por qué está mal.
• Gises. Con ellos puedes usar un pizarrón en un salón desocupado de manera espontánea para hacer tarea o perder el tiempo con amigos. Posible conseguirlos gratis en la entrada del estacionamiento del edificio P, aunque esos gises son malos. Recomendable pepenar gises que los profesores dejan en los salones cuando acaba su clase y el profesor opina que el gis ya está muy gastado, y meterlos en una bolsa ziplock o un tupper pequeño. Así consigues gises excelentes gratis.
• Chocolates o dulces. Una dosis de azúcar cambiando de clases puede ser útil para concentrarse bien en todas. Aguas con no comer demasiada azúcar!!
• Un libro electrónico por sobre de una tablet (ipad). Sí, son un aparato caro y no todo el mundo puede comprárselo, pero pueden guardar una cantidad increíblemente enorme de texto, que sería físicamente imposible cargar en formato de árbol muerto todo al mismo tiempo y no te cansa en su lectura mucho más que el papel. Tener, por ejemplo, el Friedberg, Alonso Finn, Resnick, Spivak, Lang, Mardsen, Courant, Apostol, Rudin, y otros disponibles todo el tiempo de manera simultánea es la neta (imposible siquiera cargarlos todos al mismo tiempo, son bien pesados!!). También, no te puedes distraer con los videojuegos o el fb en este aparato!!

Espero que esta pequeña lista sea útil, y si tienen comentarios (algo que le falte o le sobre), por favor escríbanlos abajo!! :).

Sobre el pan, el agua, y el aire en Matemáticas.

La interpretación geométrica intuitiva es como el agua o el aire, mientras que el rigor lógico y la abstracción son como el pan o el mar: 

Al hacer matemáticas es necesario el rigor lógico, el cual es la componente de mayor magnitud en esta actividad. Así, es como los carbohidratos del pan: forman la base de la dieta, pero en soledad son completamente indigestibles. De este modo, el pan necesita estar acompañado por algo que le permita o le ayudé a fluir: el agua. En las matemáticas, al menos para mi, el agua son los dibujos y las interpretaciones geométricas intuitivas: le dan una interpretación y sentido a toda el álgebra abstracta y rigurosa que sea posible hacer. 

Más aún: le proveen de cualidad de verdaderas a las interacciones que se hayan enunciado entre los objetos del discurso en uso. Si, me permito aseverar que sin interpretación práctica o intuición geométrica, lo que sea que se asevere e incluso demuestre sigue sin ser verdad (hasta que se le intérprete.). 

También se puede ver como que el rigor y la abstracción son como un enorme y profundo cuerpo de agua como un lago o el mar, y la intuición geométrica es como el aire que respiramos: uno puede querer meterse lo más profundo y al fondo que pueda, pero sin una bocanada de aire de cuando en cuando terminará asfixiado; es simplemente una necesidad fisiológica básica e ineludible. 

En cualquier interpretación, la intuición geométrica es el fluido que permite la vida 

(Esto se me ocurrió al prepararme para un examen oral final de cálculo IV, en el cual abordé el tema de integración de formas diferenciales sobre variedades. Las formas diferenciales tienen una hermosa interpretación intuitiva, pero uno se puede atorar y atascar en el formalismo y rigor de los tensores y el álgebra multilineal, dejando de ver su significado de fondo. Creo que lo que acabo de describir es un poco lo que le pasó al curso (en particular con los tensores y las formas diferenciales), lo que precipitó que se me ocurriera lo anterior.).